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三角関数の値 その1 (本当にその2があるのか??)

【特別寄稿】数理科学研究センター 萬代武史

皆さんがよく知っている三角関数の値は,

latex math image,

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などでしょうね.
高校ではほとんど出てきませんが,

latex math image
latex math image,

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なども結構有名です.

これらを見ると,latex math image 以外はみんな,
ルートが出てきて無理数っぽい値ですね.いつでもそうなんでしょうか.
(整数÷整数の形に書ける数を有理数と言い,有理数でない数を無理数と言います.)

実は,latex math image を有理数とするとき,

latex math image の値が有理数になるのは,
latex math image になる場合だけです.
あとは全部無理数になります.
latex math image だけ特別な値なんですね.

それだけでなく,値が有理数の平方根になる
(すなわち2乗すると有理数になる)のは,
latex math image
になる場合だけです.あとは全部,2乗しても無理数になります.
だから高校では,こういう値ばっかり出てくるんですね.

latex math image については,
latex math image の値が有理数になるのは,
latex math image になる場合だけです.
あとは全部無理数になります.
また,値を2乗して有理数になるのは,
latex math image
になる場合だけです.あとは全部,
2乗しても無理数になります.

高校の三角関数のところでおなじみの値は,三角関数にとって,
とても特別な値なんですね.